Ydin (algebra)

Ydin liittyy matematiikassa hyvin moniin eri osa-aloihin ja siksi sen määritelmä vaihtelee tapauksen mukaan. Kuva liittyy oleellisesti siihen, miten kuvaus, relaatio tai muu yhteys käsitellään. Kuvauksia tarkastellessa ydin on niiden alkukuvien joukko, jotka kuvautuvat nollaksi. Nollalla on usein erityinen merkitys, se voi kuvata muun muassa nolla-avaruutta tai laskutoimituksen neutraalialkiota.

Lineaarialgebrassa kuvaus vektoriavaruuksien välillä voidaan kuvata matriisien avulla ja muunnoksen kuva ja ydin liittyvät muunnosyhtälöryhmien ratkeavuuteen ja dimensioihin. Lineaarisilla kuvauksilla on suuri merkitys jo siksi, että analyysin perusoperaatiot derivaatta ja integraali ovat lineaarisia kuvauksia. Myös lineaarisia yhtälöryhmiä voidaan käsitellä lineaarisina kuvauksina.

Algebran kannalta lineaarikuvaus vektoriavaruuksien välillä liittyy laskutoimituksiin yhteen- ja kertolasku, sekä niiden neutraalialkioihin. Ne muodostavat ryhmähomomorfismin, tällöin ydin on niiden alkioiden kuva, jotka kuvautuvat neutraalialkiolle.